Bewertung von Optionen – Erklärung & Formel

Put-Call Parität

Grundsätzlich sei vorweg erwähnt, dass zwischen Put- und Callpreisen eine mathematische Beziehung besteht, die als Put-Call Parität bezeichnet wird. Diese besagt, dass der Preis eines Puts aus dem Preis eines Calls abgeleitet werden kann und vice versa.

Dieser Zusammenhang ergibt sich aus der sog. Put-Call Paritätsgleichung:

Binomialmodell

Das Binomialmodell gehört zu den bekannten Bewertungsmodellen. Der Optionspreis wird hierbei mithilfe von Binomialbäumen ermittelt. Es handelt sich daher um ein diskretes Modell, das auf einer sehr einfachen Betrachtung des Preisprozesses des Basiswertes (Underlying) basiert und den folgenden Annahmen zugrunde liegt:

Grundsätzlich besagt das Binomialmodell, dass der Preis des Underlying zwischen zwei Zeitpunkten entweder um den Faktor u (u wie up) steigen, oder um den Faktor d (d wie down) fallen kann. Dabei wird ein diskreter stochastischer Prozess zugrunde gelegt, d.h. das Modell unterliegt einem diskontinuierlichen Prozess mit abzählbaren Zeitabständen und zufälligen Vorgängen.

Dieser Grundsatz unterscheidet das Binomialmodell vom Black-Scholes Modell, dem ein kontinuierlicher stochastischer Prozess zugrunde liegt, d.h. das Modell basiert auf einem stetigen Prozess mit nicht abzählbaren Zeitabständen und zufälligen Vorgängen.

Black-Scholes Modell

Mit dem Black-Scholes Modell, auch bekannt als Black-Scholes-Merton Modell, gelang den Wissenschaftlern Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton Anfang der 1970er-Jahre der entscheidende Durchbruch zur numerischen Bewertung von Optionen. Ihnen ist es zu verdanken, dass Anlegern heute ein breites Angebot an handelbaren Optionen zur Verfügung steht. Das Black-Scholes Modell stellt die eigentliche Grundlage für die heutige Bewertung von Optionen und Optionsscheinen dar.

Grundsätzlich schätzt das Black-Scholes Modell die zeitliche Preisveränderung eines Underlyings. Es wird davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der betrachteten Renditen eine logarithmische Normalverteilung aufweisen. Unter Verwendung dieser Annahme, und unter Berücksichtigung weiterer Prämissen sowie Variablen, kann mit dem Modell der Preis einer Option und eines Optionsscheins abgeleitet werden.

Kritik an der Bewertung von Optionen

Obwohl das Black-Scholes Modell als auch das Binomialmodell zur Bewertung von Optionen und Optionsscheinen herangezogen werden, weisen beide Modelle Kritikpunkte auf. Beispielsweise fallen in der praktischen Anwendung Steuern und Transaktionskosten an, die per Annahme in den Modellen keine Berücksichtigung finden. Gleiches gilt für die Volatilität und das Zinsniveau. Beide Variablen sind in der Realität nicht zwangsläufig konstant, insbesondere die Volatilität nicht.

Kritik am Black-Scholes Modell

Beim Black-Scholes Modell sollte auch Folgendes kritisch betrachtet werden:

• Dividendenzahlungen werden über die Laufzeit als konstant betrachtet. In der Realität unterliegen die Auszahlungen Schwankungen.
• Eine exakte Bewertung amerikanischer Optionen und Optionsscheinen ist nicht möglich. Mithilfe des Black-Scholes Modell kann also lediglich eine Näherung des Werts von amerikanischen Optionen und Optionsscheinen erfolgen. Da der Wert von amerikanischen und europäischen Optionen und Optionsscheinen aber üblicherweise relativ nahe beieinander liegt, ist die Anwendung des Modelles dennoch praktikabel.
• Aktienkurse sind in der Realität nicht lognormalverteilt.

Volatility-Smile

Der größte Widerspruch der Black-Scholes Modellannahmen gegenüber der Kapitalmarktpraxis, liegt in der Annahme, dass die Volatilität als konstant angenommen wird. Bei der Ableitung der Black-Scholes Formel zur Berechnung der impliziten Volatilität kann jedoch aufgezeigt werden, dass bei der Betrachtung der impliziten Volatilität von Optionen und Optionsscheinen auf dasselbe Underlying mit derselben oder ähnlichen Laufzeit, jedoch abweichenden Strikes, ein sog. Volatility-Smile beobachtet werden kann.

Das Volatility-Smile drückt aus, dass im Geld und aus dem Geld liegende Optionen und Optionsscheine eine deutlich höhere implizite Volatilität aufweisen als jene, die am Geld liegen.

Kritik am Binomialmodell

Beim Binomialmodell sollten folgende Punkte kritisch betrachtet werden:

• Aktienkurse folgen einer stetigen Preisquotierung.
• Dividenden werden zunächst nicht berücksichtigt.
• Eine Risikoneutralität liegt bei Investoren in der Praxis nicht vor.

Letztlich muss jedoch hervorgehoben werden, dass sich die beiden Modelle bei einfachen Derivaten gut zur Preisbestimmung eignen und daher praktikabel sind. Bei komplexeren Derivaten findet verstärkt die sog. Monte-Carlo Simulation Anwendung.