Das Binomialmodell (auch: „Cox-Ross-Rubinstein-Modell“) ist ein diskretes Verfahren zur Bewertung von Optionen unter der Annahme, dass sich der Aktienkurs pro Zeitschritt binär (oben/unten) entwickelt. Ein Binomialbaum bildet die möglichen Kursverläufe bis zur Fälligkeit ab. Durch ein iteratives Verfahren werden die Wahrscheinlichkeiten dieser Kursbewegungen ermittelt, um daraus den fairen Optionswert abzuleiten.
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Binomialmodell – Definition
Das Binomialmodell geht in jeder Periode von genau zwei möglichen Kursbewegungen eines Basiswerts aus (Up/Down) und erzeugt dadurch einen sogenannten Binomialbaum. Für eine mehrperiodige Bewertung werden mehrere Zeitschritte bis zur Fälligkeit der Option betrachtet. An jedem Knoten entstehen zwei Verzweigungen (oben/unten), sodass man die möglichen Kursverläufe bis zum Laufzeitende abbilden kann.
- Bei amerikanischen Optionen kann man zu jedem dieser Knoten entscheiden, ob eine sofortige Ausübung sinnvoller ist als ein Weiterhalten. Die jeweilige Entscheidung hängt vom Vergleich zwischen Auszahlungswert bei sofortiger Ausübung und dem Wert des Weiterhaltens ab.
- Bei europäischen Optionen, die nur bei Fälligkeit ausgeübt werden, wird der Endwert mit Hilfe des Binomialbaums schrittweise rückwärts bis zum Barwert ermittelt.
Mit Hilfe des Binomialmodells kann ein Trader den fairen Preis von Calls und Puts berechnen und – insbesondere bei amerikanischen Optionen – entscheiden, ob und wann eine vorzeitige Ausübung vorteilhaft wäre.
Grundsatz des Binomialmodells
Grundsätzlich besagt das Binomialmodell, dass der Preis der Aktie zwischen zwei Zeitpunkten entweder um den Faktor u (u wie up) steigen, oder um den Faktor d (d wie down) fallen kann.
Dabei wird ein diskreter stochastischer Prozess zugrunde gelegt, d.h. das Modell unterliegt einem diskontinuierlichen Prozess mit abzählbaren Zeitabständen und zufälligen Vorgängen.
Es handelt sich daher um ein diskretes Modell, das auf einer sehr einfachen Betrachtung des Preisprozesses des Basiswertes (Underlying) basiert und den folgenden Annahmen zugrunde liegt:
| Grundannahmen des Binomialmodells | |
| Vollkommener Kapitalmarkt | beliebige Kapitalanlage und Kapitalaufnahme zum risikofreien Zinssatz |
| beliebige Teilbarkeit der Wertpapiere | keine Leeverkaufsbeschränkungen |
| keine Dividendenzahlungen während der Laufzeit | Arbitragegewinne sind nicht möglich |
Hinweis: Dieser Grundsatz unterscheidet das Binomialmodell vom Black-Scholes Modell, dem ein kontinuierlicher stochastischer Prozess zugrunde liegt, d.h. das Modell basiert auf einem stetigen Prozess mit nicht abzählbaren Zeitabständen und zufälligen Vorgängen.
Optionsbewertung mit dem Binomialmodell
Für die Bewertung einer Option per Binomialmodell benötigt man:
- den aktuellen Kurs des Basiswertes (z. B. einer Aktie),
- den Strike-Preis (Ausübungspreis),
- den Fälligkeitstermin der Option (Verfallstag),
- einen risikofreien Zinssatz (z. B. basierend auf Staatsanleihen).
Das Modell unterstellt, dass zwischen jetzt und dem Verfallstag mehrere diskrete Zeitabschnitte liegen und sich der Basiswert je Abschnitt nur um einen Faktor u (Up) oder d (Down) verändert. Aus u, d und dem risikofreien Zins wird für jeden Schritt eine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ermittelt. Die einzelnen Schritte bilden einen Binomialbaum, in dem sich alle möglichen Pfade des Aktienkurses bis zur Fälligkeit ablesen lassen.
Zur Bestimmung des Optionswertes wird in der Regel die Rückwärtsinduktion verwendet: Zunächst werden die Auszahlungswerte am Laufzeitende berechnet (z.B. max(A-K, 0) für einen Call) und dann schrittweise auf den heutigen Zeitpunkt diskontiert. Bei amerikanischen Optionen wird zusätzlich in jedem Schritt geprüft, ob die vorzeitige Ausübung vorteilhafter ist als das Halten.
Da das Modell keine Arbitragemöglichkeiten zulässt (No-Arbitrage-Prinzip), liefert es einen theoretisch fairen Preis für die Option unter den gegebenen Parametern. Die Annahme von zwei möglichen Kursänderungen pro Zeitschritt vereinfacht die Modellierung. Bei vielen Zeitschritten entsteht so eine binomialverteilte Bandbreite möglicher Endkurse.
Vorteile des Binomialmodells
Ein wesentlicher Vorteil des Binomialmodells besteht darin, dass es einen Überblick über die möglichen Kurse der zugrunde liegenden Aktie in verschiedenen Zeiträumen gibt. Darüber hinaus bietet es Transparenz über den Wert der zugrunde liegenden Optionen in diesen Zeiträumen.
Ein Händler kann einfach den Kurs der zugrunde liegenden Aktie für jede Periode ablesen und mit der Veränderung des Optionspreises vergleichen. Es ist auch möglich, verschiedene Wahrscheinlichkeiten für jeden Schritt einzubeziehen.
Durch die Bewertung von Optionen über verschiedene Zeiträume eignet sich das Binomialmodell besonders für die Bewertung von amerikanischen Optionen, die jederzeit vor ihrem Verfall ausübbar sind, aber auch für Bermuda-Optionen, die zu bestimmten Zeitpunkten ausübbar sind. Dies stellt einen erheblichen Vorteil gegenüber anderen Bewertungsmodellen dar.
Nachteile der Methodik
Ein großer Nachteil des Binomialmodells ist, dass die Berechnungen, für eine große Anzahl von Optionen, länger dauern als bei anderen Modellen. Es ist daher nicht sehr nützlich, wenn viele Optionen schnell berechnet werden müssen.
Ebenso, eine wesentliche Einschränkung aller Preisbildungsmodelle besteht darin, dass die tatsächlichen Preise von Optionskontrakten von Angebot und Nachfrage an der Börse bestimmt werden und nicht von einer Formel, egal wie ausgeklügelt diese auch sein mag.
Black-Scholes-Modell vs. Binomialmodell
Das Black-Scholes-Modell bietet eine analytische Lösung zur Bewertung von Optionen unter der Annahme kontinuierlicher Preisänderungen, während das Binomialmodell eine diskrete Zeitschrittmethode nutzt, die mögliche Kursverläufe in einem Binomialbaum darstellt und bewertet.
Das Black-Scholes-Modell berechnet den Optionspreis mit festen Inputs wie aktueller Aktienkurs, Laufzeit, Strike-Preis, risikofreier Zinssatz und Volatilität. Es eignet sich besonders für europäische Optionen, die nur am Verfallsdatum ausgeübt werden können.
Das Binomialmodell hingegen bewertet Optionen über mehrere Zeitperioden und eignet sich insbesondere für amerikanische Optionen, da es eine vorzeitige Ausübung berücksichtigt. Es erlaubt zudem eine detailliertere Modellierung, da in jeder Periode unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten oder Variablen angepasst werden können.
Ein wesentlicher Unterschied liegt in der Betrachtung des Optionswerts: Während das Black-Scholes-Modell einen einzigen korrekten Wert für die Option liefert, zeigt das Binomialmodell eine Bandbreite möglicher Werte entlang der Laufzeit. Diese Flexibilität macht es besonders nützlich für szenariobasierte Bewertungen und komplexe Marktbedingungen.
Beispiel für die Anwendung des Binomialmodells
Ein vereinfachtes Beispiel für einen Binomialbaum hat nur einen Schritt (einperiodiges Binomialmodell). Nehmen wir an, es gibt eine Aktie, deren Preis bei 100,00$ pro Aktie liegt. In einem Monat steigt der Kurs dieser Aktie um 10,00$ oder sinkt um 10,00$, wodurch folgende Situation entsteht:
- Aktienkurs heute = 100,00$
- Aktienkurs in einem Monat (Preissteigerung) = 110,00$
- Aktienkurs in einem Monat (Preisverlust) = 90,00$
Nehmen wir weiter an, dass es eine Call-Option auf diese Aktie gibt, die in einem Monat ausläuft und einen Ausübungspreis von 100,00$ hat. Die Option befindet sich also aktuell am Geld (At The Money).
Im Fall der Preissteigerung der Aktie ist diese Kaufoption 10,00$ wert und im Fall des Preisverlusts ist sie 0,00$ wert. Das Binomialmodell kann berechnen, wie der Preis der Kaufoption heute theoretisch sein sollte.
Aktienpreisberechnung
Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass ein Anleger eine halbe Aktie kauft und eine Call-Option schreibt oder verkauft. Die heutige Gesamtinvestition ist der Preis einer halben Aktie abzüglich des Preises der Option, und die möglichen Auszahlungen am Ende des Monats sind:
- Kosten heute = 50,00$ – Optionspreis
- Portfoliowert (Aufwärtsbewegung) = 55,00$ – max (110,00$ – 100,00$, 0) = 45,00$
- Portfoliowert (Abwärtszustand) = 45,00$ – max(90,00$ – 100,00$, 0) = 45,00$
Optionspreisberechnung
Die Auszahlung des Portfolios ist gleich, unabhängig davon, wie sich der Aktienkurs entwickelt. Bei diesem Ergebnis und unter der Annahme, dass es keine Arbitragemöglichkeiten gibt, sollte ein Anleger im Laufe des Monats den risikofreien Zinssatz verdienen. Die heutigen Kosten müssen gleich dem mit dem risikofreien Zinssatz für einen Monat abgezinsten Gewinn sein.
Die zu lösende Gleichung lautet somit:
- Optionspreis = 50,00$ – 45,00$ x e ^ (-riskofreier Satz x T), wobei e die mathematische Konstante 2,7183 ist.
Unter der Annahme, dass der risikofreie Zinssatz 3,00% pro Jahr beträgt und T gleich 0,0833 ist (1/12, also ein Monat), beträgt der theoretische Preis des Calls heute 5,11$.
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