Binomialmodell (Cox-Ross-Rubinstein-Modell) – Definition & Erklärung

Binomialmodell – Definition

Als Binomialmodell wird ein Modell zur Bepreisung von Optionen bezeichnet, welches stets von zwei möglichen Kursbewegungen ausgeht (einem steigenden und einem fallenden Preis). Dabei verwendet das Binomialmodell mehrere Zeitperioden für die Bewertung von Optionen. Diese bilden einen Binomialbaum. In diesem Baum gibt es bei jeder Iteration zwei mögliche Ergebnisse. Diese Ergebnisse stellen eine Bewegung nach oben oder unten im Baum dar.

Anhand der Werte des Binomialbaums kann ein Trader bestimmen, wann eine Option ausgeübt werden könnte. Wenn die Option einen positiven Wert hat, besteht die Möglichkeit der Ausübung, während eine Option mit einem Wert von weniger als Null lieber gehalten werden sollte.

Grundsatz des Binomialmodells

Grundsätzlich besagt das Binomialmodell, dass der Preis der Aktie zwischen zwei Zeitpunkten entweder um den Faktor u (u wie up) steigen, oder um den Faktor d (d wie down) fallen kann. Dabei wird ein diskreter stochastischer Prozess zugrunde gelegt, d.h. das Modell unterliegt einem diskontinuierlichen Prozess mit abzählbaren Zeitabständen und zufälligen Vorgängen.

Es handelt sich daher um ein diskretes Modell, das auf einer sehr einfachen Betrachtung des Preisprozesses des Basiswertes (Underlying) basiert und den folgenden Annahmen zugrunde liegt:

Dieser Grundsatz unterscheidet das Binomialmodell vom Black-Scholes Modell, dem ein kontinuierlicher stochastischer Prozess zugrunde liegt, d.h. das Modell basiert auf einem stetigen Prozess mit nicht abzählbaren Zeitabständen und zufälligen Vorgängen.

Optionsbewertung mit dem Binomialmodell

Um die Option zu bewerten, muss ein Anleger den aktuellen Kurs einer Aktie, den Verfallstag der Option und den Ausübungspreis (Strike-Preis) der Option kennen.  Er sollte auch von einem konstanten, risikofreien Zinssatz ausgehen (beispielsweise von Staatsanleihen mit hervorragendem Credit Rating). Damit kann der Optionswert für jede einzelne oder mehrere Perioden berechnet werden. Außerdem vereinfacht das Modell die Optionsbewertung, indem es von keiner Arbitragemöglichkeit ausgeht. Diese Übersichtlichkeit ermöglicht dem Anleger, den besten Zeitpunkt für die Ausübung der Option zu bestimmen.

Der Prozess beginnt mit einer anfänglichen Schätzung und wird in Iterationsschritten optimiert. Dann wird eine Reihe von näheren Schätzungen erstellt, um einen endgültigen Wert zu ermitteln. Im Falle des Binomialmodells kennt der Anleger den aktuellen Aktienkurs. Er muss dann schätzen, wie hoch der Aktienkurs am Verfallstag der Option sein wird.

Dieses Modell setzt voraus, dass es zwei mögliche Aktienkurse am Verfallstag und eine Wahrscheinlichkeit für jeden Kurs gibt. Zu jedem Zeitpunkt kann der Optionspreis steigen oder fallen. Dabei unterteilt es die Zeit zwischen dem jetzigen Zeitpunkt und dem Verfallstag in eine Reihe von Perioden, wie Wochen oder Monate. Bei jedem Schritt des Modells steigt oder fällt der Aktienkurs. Das Binomialmodell erstellt somit eine Binomialverteilung der möglichen Aktienkurse für eine Option bis zur Fälligkeit.

Vorteile des Binomialmodells

Ein wesentlicher Vorteil des Binomialmodells ist, dass es einen Überblick über den möglichen Kursen der zugrunde liegenden Aktie in verschiedenen Zeitabschnitten verschafft. Außerdem bietet es Transparenz über den Wert der zugrunde liegenden Optionen in diesen Zeiträumen.

Ein Händler kann den zugrunde liegenden Aktienkurs für jede Periode einfach ablesen und ihn mit der Veränderung des Optionspreises vergleichen. Zudem ist es möglich, auch verschiedene Wahrscheinlichkeiten in jeden Schritt einzubeziehen.

Indem Optionen über verschiedene Zeitperioden hinweg bewertet werden, eignet sich das Binomialmodell besonders für die Bewertung von amerikanischen Optionen, da diese jederzeit vor ihrem Verfall ausgeübt werden können. Dies stellt einen erheblichen Vorteil gegenüber anderen Bewertungsmodellen dar.

Nachteile der Methodik

Ein großer Nachteil des Binomialmodells ist, dass die Berechnungen, für eine große Anzahl von Optionen, länger dauern als bei anderen Modellen. Es ist also nicht sehr nützlich, wenn viele Optionen schnell berechnet werden müssen.

Ebenso, eine wesentliche Einschränkung aller Preisbildungsmodelle besteht darin, dass die tatsächlichen Preise von Optionskontrakten von Angebot und Nachfrage an der Börse bestimmt werden und nicht von einer Formel, egal wie ausgeklügelt diese auch sein mag.

Optionspreisberechnung

Die Auszahlung des Portfolios ist gleich, unabhängig davon, wie sich der Aktienkurs entwickelt. Bei diesem Ergebnis und unter der Annahme, dass es keine Arbitragemöglichkeiten gibt, sollte ein Anleger im Laufe des Monats den risikofreien Zinssatz verdienen. Die heutigen Kosten müssen gleich dem mit dem risikofreien Zinssatz für einen Monat abgezinsten Gewinn sein. Die zu lösende Gleichung lautet somit:

• Optionspreis = 50,00$ – 45,00$ x e ^ (-riskofreier Satz x T), wobei e die mathematische Konstante 2,7183 ist.

Unter der Annahme, dass der risikofreie Zinssatz 3,00% pro Jahr beträgt und T gleich 0,0833 ist (1/12, also ein Monat), beträgt der theoretische Preis des Calls heute 5,11$.