Das Binomialmodell (Cox-Ross-Rubinstein) bewertet Optionen diskret: Der Basiswert kann je Zeitschritt nur zwei Zustände annehmen (Up/Down). Ein rekombinierender Binomialbaum bildet alle möglichen Kurspfade bis zur Fälligkeit ab. Unter dem No-Arbitrage-Prinzip wird eine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit abgeleitet, mit der der Optionswert per Rückwärtsinduktion vom Laufzeitende zum heutigen Zeitpunkt berechnet wird.
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Binomialmodell – Definition
Das Binomialmodell modelliert pro Periode zwei Kursbewegungen (Up/Down) und erzeugt einen Binomialbaum. Bei mehreren Zeitschritten bis zur Fälligkeit entstehen an jedem Knoten zwei Verzweigungen.
Funktionsweise
In rekombinierenden Bäumen (z. B. Cox-Ross-Rubinstein, CRR) können verschiedene Pfade zum gleichen Kurszustand führen, wodurch die Knotenzahl langsamer wächst als die Pfadanzahl.
- Amerikanische Optionen: An jedem Knoten wird geprüft, ob eine sofortige Ausübung (intrinsischer Wert) vorteilhafter ist als Weiterhalten (Fortführungswert). Calls auf dividendenlose Aktien werden theoretisch nicht vorzeitig ausgeübt. Bei Dividenden oder Puts kann Frühausübung optimal sein.
- Europäische Optionen: Der Endwert wird nur bei Fälligkeit realisiert und per Rückwärtsinduktion zum Barwert diskontiert.
Mit Hilfe des Binomialmodells kann ein Trader den fairen Preis von Calls und Puts berechnen und (insbesondere bei amerikanischen Optionen) entscheiden, ob und wann eine vorzeitige Ausübung vorteilhaft wäre.
Grundsatz des Binomialmodells
Grundsätzlich besagt das Binomialmodell, dass der Preis der Aktie zwischen zwei Zeitpunkten entweder um den Faktor u (u wie up) steigen oder um den Faktor d (d wie down) fallen kann.
Bedeutung der Variablen:
- St: Kurs des Basiswerts zum Zeitpunkt t
- St+Δt: Kurs des Basiswerts nach einem Zeitschritt der Länge Δt
- Δt: Länge eines Zeitschritts (z. B. 1/12 Jahr für einen Monat); bei N Schritten gilt typischerweise Δt = T/N
- u: Aufwärtsfaktor pro Zeitschritt (z. B. im CRR-Ansatz häufig u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}})
- d: Abwärtsfaktor pro Zeitschritt (z. B. im CRR-Ansatz häufig d = e^{-\sigma\sqrt{\Delta t}})
- σ: (annualisierte) Volatilität des Basiswerts (Input/Schätzung zur Parametrisierung von u und d)
- r: risikofreier Zinssatz (kontinuierlich verzinst, annualisiert. Diskontierung erfolgt über e^{-r\Delta t})
- T: Restlaufzeit bis zur Fälligkeit (in Jahren)
Dabei wird ein diskreter stochastischer Prozess in der Zeit zugrunde gelegt. Das Modell betrachtet abzählbare Zeitpunkte (Zeitschritte) und zufällige Zustandswechsel (Up/Down) zwischen diesen Zeitpunkten.
No-Arbitrage-Prinzip
Unter dem No-Arbitrage-Prinzip ergibt sich eine risikoneutrale Wahrscheinlichkeit für den Up-Schritt. Bei stetiger Verzinsung (risikofreier Zins r) gilt für einen Zeitschritt der Länge Δt:
Diese risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist eine Modellgröße, die aus Replikation und No-Arbitrage folgt. Damit ein arbitragefreies Modell vorliegt, muss (bei stetiger Verzinsung) typischerweise gelten:
Annahmen
Das Binomialmodell ist ein diskretes Modell, das auf einer einfachen Betrachtung des Preisprozesses des Basiswerts (Underlying) basiert. Es baut häufig auf den folgenden Annahmen auf:
| Grundannahmen des Binomialmodells | |
|---|---|
| (Nahezu) vollkommener Kapitalmarkt | keine Transaktionskosten/Steuern; Kapitalanlage und Kapitalaufnahme zum risikofreien Zinssatz |
| beliebige Teilbarkeit der Wertpapiere | Short-Selling grundsätzlich möglich (keine/vernachlässigbare Leerverkaufsbeschränkungen) |
| Dividenden (Grundversion) | in der Grundform oft keine Dividendenzahlungen während der Laufzeit. Erweiterungen (z. B. Dividendenrendite oder diskrete Dividenden) sind möglich |
| No-Arbitrage | kein risikoloser Gewinn möglich, typischerweise gilt d < erΔt < u |
Hinweis: Dieser Grundsatz unterscheidet das Binomialmodell vom Black-Scholes Modell, dem ein kontinuierlicher stochastischer Prozess zugrunde liegt, d.h. das Modell basiert auf einem stetigen Prozess mit nicht abzählbaren Zeitabständen und zufälligen Vorgängen.
Optionsbewertung mit dem Binomialmodell
Das Binomialmodell liefert einen theoretisch fairen, modellabhängigen Optionspreis. Für die Bewertung einer Option per Binomialmodell benötigt man typischerweise:
- den aktuellen Kurs des Basiswertes (z. B. einer Aktie),
- den Strike-Preis (Ausübungspreis),
- den Fälligkeitstermin der Option (Verfallstag),
- einen risikofreien Zinssatz (z. B. basierend auf Staatsanleihen),
- die Zeitschrittweite Δt bzw. die Anzahl der Zeitschritte N,
- eine Schätzung/Kalibrierung der Volatilität (zur Festlegung von u und d, im CRR-Ansatz z. B. über σ).
Zwei-Zustands-Annahme
Das Modell unterstellt, dass zwischen jetzt und dem Verfallstag mehrere diskrete Zeitabschnitte liegen und sich der Basiswert je Abschnitt nur um einen Faktor u (Up) oder d (Down) verändert.
In der CRR-Spezifikation werden die Faktoren häufig so gewählt:
Aus u, d, r und Δt wird per No-Arbitrage-Prinzip die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit p hergeleitet. Der Binomialbaum bildet alle möglichen Kurszustände bis zur Fälligkeit ab.
Rückwertsinduktion
Die Bewertung erfolgt per Rückwärtsinduktion: Am Laufzeitende werden die Auszahlungen berechnet (max(ST-K, 0) für Calls, max(K-ST, 0) für Puts) und schrittweise diskontiert. Bei amerikanischen Optionen wird an jedem Knoten geprüft, ob sofortige Ausübung (intrinsischer Wert) vorteilhafter ist als Halten (Fortführungswert).
Die Zwei-Zustands-Annahme vereinfacht die Modellierung. Bei vielen Zeitschritten konvergiert das CRR-Modell gegen den kontinuierlichen Grenzfall. Wichtig dabei: Die Wahrscheinlichkeiten müssen konsistent aus No-Arbitrage hergeleitet werden.
Vorteile des Binomialmodells
Das Binomialmodell visualisiert Kurszustände transparent im Baum und zeigt neben dem heutigen Optionswert auch Zwischenwerte an jedem Knoten (zustands- und zeitabhängig). Das hilft beispielsweise für Ausübungsentscheidungen bei amerikanischen und Bermuda-Optionen.
Das Modell lässt sich außerdem flexibel erweitern durch:
- zeitabhängige Parameter (Zinsen, Volatilitäten pro Schritt),
- Dividendenannahmen (Rendite oder diskrete Zahlungen),
- komplexe Payoff-Strukturen.
Nachteile der Methodik
Das Binomialmodell ist gegenüber anderen Bewertungsmodellen (z. B. Black-Scholes) rechenintensiver. Bei vielen Optionen oder großen Schrittzahlen kann dies die Berechnung verlangsamen.
Wie alle Modelle hängt der theoretische Preis von Inputparametern (Volatilität, Zins, Dividenden) ab. Börsenpreise werden zudem durch Angebot und Nachfrage bestimmt und können vom Modellwert abweichen.
Black-Scholes-Modell vs. Binomialmodell
Das Black-Scholes-Modell liefert eine analytische Lösung für Standardoptionen unter bestimmten Annahmen (lognormaler Kursprozess, konstante Volatilität und Zins, friktionsloser Markt). Es berechnet den theoretischen Optionspreis aus Aktienkurs, Laufzeit, Strike, risikofreiem Zins, Volatilität und ggf. Dividenden. Black-Scholes eignet sich besonders für europäische Optionen ohne vorzeitige Ausübung.
Das Binomialmodell ist eine diskrete Zeitschrittmethode, die Kurszustände im Binomialbaum abbildet und den Optionswert per Rückwärtsinduktion bestimmt. Es eignet sich für amerikanische Optionen, da an jedem Knoten Fortführungswert und intrinsischer Wert (sofortige Ausübung) verglichen werden. Das Modell ist flexibel erweiterbar (z. B. für Bermuda-Optionen oder komplexe Payoffs).
Wesentliche Unterschiede:
- Das Binomialmodell zeigt zusätzlich Optionswerte an Zwischenknoten (zustands- und zeitabhängig) und eignet sich für die Bewertung einer vorzeitigen Ausübung der Option.
- Für europäische Standardoptionen konvergiert das CRR-Binomialmodell bei wachsender Schrittzahl (N → ∞) typischerweise gegen das Black-Scholes-Ergebnis.
Beispiel für die Anwendung des Binomialmodells
Ein vereinfachtes Beispiel für einen Binomialbaum hat nur einen Schritt (einperiodiges Binomialmodell). Nehmen wir an, es gibt eine Aktie, deren Preis heute bei 100,00$ liegt. In einem Monat steigt der Kurs um 10,00$ oder sinkt um 10,00$:
- Aktienkurs heute = 100,00$
- Aktienkurs in einem Monat (Up) = 110,00$ (⇒ u = 1,10)
- Aktienkurs in einem Monat (Down) = 90,00$ (⇒ d = 0,90)
Nehmen wir weiter an, dass es eine Call-Option auf diese Aktie gibt, die in einem Monat ausläuft und einen Ausübungspreis von 100,00$ hat (am Geld).
Am Laufzeitende gilt für die Auszahlung (Payoff) des Calls:
- Call-Payoff im Up-Zustand: max(110,00$ – 100,00$, 0) = 10,00$
- Call-Payoff im Down-Zustand: max(90,00$ – 100,00$, 0) = 0,00$
Der theoretische Preis des Calls heute kann nun über Replikation (hedging/replicating portfolio) oder äquivalent über risikoneutrale Bewertung bestimmt werden.
Replikationsportfolio (Hedge-Ansatz)
Zur Veranschaulichung konstruieren wir ein Portfolio aus:
- + Δ Aktien (Long)
- – 1 Call (Short)
und wählen Δ so, dass der Portfoliowert am Ende in beiden Zuständen gleich ist (risikofrei).
Hier ist eine einfache Wahl: Δ = 0,5 (eine halbe Aktie).
Dann ergibt sich:
- Kosten heute = 0,5 × 100,00$ – C0 = 50,00$ – C0
- Portfoliowert (Up) = 0,5 × 110,00$ – 10,00$ = 55,00$ – 10,00$ = 45,00$
- Portfoliowert (Down) = 0,5 × 90,00$ – 0,00$ = 45,00$
Die Auszahlung des Portfolios beträgt somit in beiden Zuständen 45,00$ und ist damit risikofrei. Unter No-Arbitrage muss der heutige Preis dieses Portfolios dem auf heute diskontierten risikofreien Endwert entsprechen.
Optionspreisberechnung
Verwenden wir (wie im Beispiel) stetige Verzinsung mit risikofreiem Zinssatz r und Laufzeit T (in Jahren), dann ist der Diskontfaktor e-rT.
Da das Portfolio am Ende sicher 45,00$ auszahlt, gilt:
- 50,00$ – C0 = 45,00$ × e-rT
- ⇒ C0 = 50,00$ – 45,00$ × e-rT
Setzen wir r = 3,00% p. a. und T = 1/12 (ein Monat) ein, ergibt sich:
- C0 = 50,00$ – 45,00$ × e-(0,03 × 1/12) ≈ 5,11$
Alternative Darstellung (risikoneutrale Bewertung)
Äquivalent kann man den Optionspreis als abgezinsten risikoneutralen Erwartungswert schreiben. Für einen Schritt gilt:
Mit u = 1,10, d = 0,90 und rT = 0,03 × 1/12 ergibt sich eine risikoneutrale Up-Wahrscheinlichkeit von rund p ≈ 0,5125. Dann:
Hinweis: Falls statt stetiger Verzinsung einfache Verzinsung genutzt wird, lautet der Diskontfaktor 1/(1+rT). Entscheidend ist, dass Zinsannahme und Formeln konsistent verwendet werden.
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