Kurtosis – Definition & Bedeutung

Kurtosis – Definition

Die Kurtosis (Wölbung) beschreibt, wie stark sich eine Verteilung in ihrem Gipfel und in den beiden Randbereichen von einer Normalverteilung unterscheidet. Das Ergebnis kann positiv, spitz (leptokurtisch), negativ, flach (platykurtisch) oder normalverteilt (mesokurtisch) sein. Dazu wird die Anzahl der Datenpunkte an den Rändern gemessen und mit dem Rest der Verteilung verglichen.

Kurtosis, Peakedness und Skewness

Die Kurtosis ist eine statistische Kennzahl, die das relative Gewicht der Randbereiche („Tails“) einer Verteilung im Vergleich zur Mitte beschreibt. Sie wird häufig mit der „Spitzenhaftigkeit“ (engl. peakedness) einer Verteilung gleichgesetzt.

Tatsächlich bezieht sich die Kurtosis jedoch auf die Form und Gewichtung der Enden einer Verteilung, unabhängig von der Form ihres Gipfels. So kann eine Verteilung beispielsweise sehr spitz sein, aber eine geringe Wölbung aufweisen, oder flach sein und dennoch eine hohe Wölbung haben.

Kurz gesagt: die Kurtosis quantifiziert Spitzheit und Tail-Dicke (auf beiden Seiten).

Skewness (deutsch: „Schiefe“) misst dagegen, wie (a)symmetrisch eine Verteilung ist, also ob der „linke“ oder „rechte“ Rand (Tail) ausgeprägter ist und die Verteilung dadurch zur einen oder anderen Seite „schief“ wird.

Kategorien der Kurtosis

Es gibt drei Kategorien von Kurtosis, die durch einen Datensatz angezeigt werden können. Alle Wölbungsmaße werden mit einer Standard-Normalverteilung oder einer Glockenkurve verglichen.

• Leptokurtische Verteilung: Spitzere Gipfel und dickere Ränder, sog. “Fat Tails” (bspw. Laplace-Verteilung). Verteilungen mit hoher (positiver) Wölbung weisen Daten auf, die an den Enden mehr Häufigkeit aufweisen als es bei einer Normalverteilung der Fall wäre.
• Platykurtische Verteilung: Flachere Gipfel und dünnere Ränder (weniger extreme Ausreißer).
• Mesokurtische Verteilung: Normalgipflige Verteilungen, bspw. die Normalverteilung.

Mesokurtische Verteilung

Die erste Kategorie der Kurtosis ist die mesokurtische Verteilung. Diese Verteilung hat eine ähnliche Kurtosisstatistik wie die Normalverteilung, d. h. die Extremwerte der Verteilung sind ähnlich wie bei der Normalverteilung. Wenn ein Datensatz mit annähernd normaler Verteilung in einem Histogramm dargestellt wird, zeigt das Histogramm eine Glockenkurve, wobei die meisten Daten innerhalb von drei Standardabweichungen (plus oder minus) vom Mittelwert liegen.

Leptokurtische Verteilung

Die zweite Kategorie ist eine leptokurtische Verteilung. Die Vorsilbe „lepto-“ bedeutet „dünn“. Jede leptokurtische Verteilung weist eine größere Kurtosis auf als eine mesokurtische Verteilung. Charakteristisch für diese Verteilung sind lange Extremitäten (Ausreißer).

Wenn eine hohe Wölbung vorliegt, reichen die Enden weiter als die drei Standardabweichungen der normalen glockenförmigen Verteilung im Histogramm. Die „Dünnheit“ einer leptokurtischen Verteilung ist eine Folge der Ausreißer, die die horizontale Achse des Histogramms strecken und den Großteil der Daten in einem schmalen („dünnen“) vertikalen Bereich erscheinen lassen.

Daher werden leptokurtische Verteilungen manchmal als „auf den Mittelwert konzentriert“ bezeichnet, aber das relevantere Problem (insbesondere für Anleger) ist, dass es gelegentlich extreme Ausreißer gibt, die dieses „konzentrierte“ Erscheinungsbild verursachen. Beispiele für leptokurtische Verteilungen sind die T-Verteilungen mit kleinen Freiheitsgraden.

Platykurtische Verteilung

Der letzte Verteilungstyp ist eine platykurtische Verteilung. Die Vorsilbe „platy-“ bedeutet „breit“ und soll eine kurze und flacher aussehende Spitze beschreiben. Diese Verteilungen haben kurze Enden (weniger Ausreißer). Bei einer geringen Wölbung sind die Enden daher kurzer als bei der Normalverteilung im Histogramm.

Gleichmäßige Verteilungen sind platykurtisch und haben breite Spitzen. Die Beta-Verteilung ist ebenfalls platykurtisch und hat eine unendliche Spitze. Der Grund dafür ist, dass ihre Extremwerte geringer sind als die der Normalverteilung.

Für Anleger sind platykurtische Renditeverteilungen stabil und vorhersehbar in dem Sinne, dass es selten (wenn überhaupt) zu extremen (Ausreißer-)Renditen kommen wird.