Ewige Rente – Definition & Berechnung

Die ewige Rente, auch bekannt als „Perpetuität“, „Perpetuity“ oder „Perpetual Annuity“, beschreibt eine gleichbleibende Zahlung über einen unbegrenzten Zeitraum, ohne eine Veränderung des eingesetzten Kapitals. Sie kann unter anderem bei der Kalkulation von Versicherungen und im Rahmen der Unternehmensbewertung eingesetzt werden.

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Ewige Rente – Definition

Eine Rente bezeichnet im Zusammenhang mit wirtschaftlichen Ereignissen allgemein eine gleichmäßig wiederkehrende Zahlungsreihe, welcher keine direkte Gegenleistung gegenübersteht. Bei einer ewigen Rente handelt es sich um eine Spezialform.

Sie bezeichnet gleichbleibende und zeitlich unbegrenzte Zahlungen bei gleichzeitigem Kapitalerhalt. Aufgrund dieser Definition kommen ewige Renten in der Regel bei festverzinslichen Anlageformen vor. Die Bezeichnung „ewig“ erhalten sie deshalb, weil das investierte Kapital nicht verbraucht wird und die Auszahlungen damit theoretisch ewig anhalten können.

Formel & Berechnung

Bei der Berechnung der ewigen Rente können zwei verschiedene Modelle unterschieden werden:

  • Vorschüssig
  • Nachschüssig

Der Unterschied zwischen diesen beiden Varianten ist der Auszahlungszeitpunkt.

  • Vorschüssige Rentenzahlungen finden am Anfang einer Periode statt.
  • Umgekehrt befindet sich die nachschüssige Rentenzahlung am Ende einer Periode.

Aufgrund dieser unterschiedlichen Ausgangslage sind verschiedenen Formeln anzuwenden.

Im Folgenden soll der Barwert der jeweiligen Rentenzahlungen ermittelt werden. Folglich wäre die Höhe der Zahlungen bekannt, der aktuelle Wert jedoch nicht. Diese Annahme kann beispielsweise in der Unternehmensbewertung relevant sein.

Alternativ zum Barwert einer Rente kann auch der Endwert (Terminal Value) relevant sein. Dieser beziffert den Betrag, über den ein Investor am Ende der Laufzeit verfügen könnte, wenn die Zinsen nicht abgehoben, sondern wieder angelegt hätte. Mathematisch liegt dem Rentenbarwert folglich eine Abzinsung (auf den heutigen Zeitpunkt) und dem Rentenendwert eine Aufzinsung (auf einen zukünftigen Zeitpunkt) zugrunde.

Endwert nachschüssiger Renten

Die erste Auszahlung der nachschüssigen Rente findet am Ende der ersten Periode statt. Bis zum Zieljahr „n“ sind es folglich n Jahre minus dem ersten Jahr, dass durch die nachschüssige Zahlung „verloren gegangen“ ist. Jede folgende Rentenzahlung verzinst sich weniger als die erste, weil weniger Zeit bis zum Jahr n verbleibt. Die vorletzte Rente wird somit nur noch einmal mit dem festgelegten Zins multipliziert und für die letzte Rate findet gar keine Aufzinsung mehr statt.

Ewige Rente - Endwert nachschüssig

Aus dieser Überlegung ergibt sich die folgende Rentenendwertformel:

Rentenendwert~(R_{n})=r*\frac{q^{n}-1}{q-1}

In dieser Formel steht „r“ für die regelmäßige Rate der Rente und „q“ beschreibt den Zinssatz. Sieben Prozent würden beispielsweise als 1,07 dargestellt. Alternativ kann auch direkt der mathematische Ausdruck „i“ für den Zins verwendet werden. Das wäre in diesem Beispiel 0,07.

Beispiel: Am Ende eines Jahres zahlt ein Sparer 500 Euro auf ein Konto ein. Die Verzinsung beträgt drei Prozent pro Jahr. Das Guthaben des Kontos zu Beginn des elften Jahres (also nach Vollendung von zehn Jahren) würde sich jetzt beispielsweise wie folgt errechnen:

Rentenendwert~(R_{10})=500*\frac{1,03^{10}-1}{1,03-1}=5.731,94~EUR

Endwert vorschüssiger Renten

Anders als bei der nachschüssigen Rentenzahlung hat das Kapital bei vorschüssiger Auszahlung ein Jahr länger Zeit, weiterverzinst zu werden. Die bereits genannte Formel des Rentenendwertes verschiebt sich folglich um ein Jahr, verglichen mit der nachschüssigen Variante. Die Rentenzahlung jeder einzelnen Periode ist folglich ein zusätzliches Mal mit dem Zinssatz zu multiplizieren. Daraus ergibt sich folgende Formel:

Rentenendwert~(R´_{n})=r*\frac{q^{n}-1}{q-1}*q

Hinweis: Der hochgestellte Strich über dem „R“ ist die Bezeichnung der vorschüssigen Rente. Gleichzeitig ist darunter nicht die Ableitung aus der Differenzialrechnung zu verstehen.

Beispiel: Am Anfang eines Jahres zahlt ein Sparer 500 Euro auf ein Konto ein. Die Verzinsung beträgt drei Prozent pro Jahr. Das Guthaben des Kontos am Ende des zehnten Jahres würde sich jetzt beispielsweise wie folgt errechnen:

Rentenendwert~(R´_{10})=500*\frac{1,03^{10}-1}{1,03-1}*1,03=5.903,90~EUR

Barwert nachschüssiger Renten

Als Barwert gilt der Wert einer Zahlungsreihe in der Gegenwart. Fallen beispielsweise zehn Jahre lang Rentenzahlungen an, ist deren heutiger Wert ihr Barwert. Der Begriff „Bar“ ist dabei vom Bargeld abzugrenzen. Vielmehr geht es um die wirtschaftliche Interpretation im Sinne von „sofort“. Mathematisch ist für die Berechnung eines Barwertes mit der sogenannten Abzinsung zu arbeiten. Dies berücksichtigt den Umstand, dass durch die definierten Zinsen zukünftige Zahlungsströme automatisch mehr wert sind als gegenwärtige Zahlungen.

Beispiel: Einen Zinssatz von zehn Prozent angenommen, können 1.000 Euro und 1.610,51 Euro den gleichen Barwert besitzen. Es kommt nämlich darauf an, in welcher Periode sie entstehen. Liegen bereits jetzt 1.000 Euro vor, ist dies auch gleichzeitig der Barwert. 1.610,51 Euro in fünf Jahren hätten unter den angenommenen Zinsen ebenfalls einen Barwert von genau 1.000 Euro.

In ihrer Berechnung bauen Barwerte auf dem Konzept der Endwerte auf. Zuerst muss der Endwerte einer Reihe von Rentenzahlungen gebildet werden, um diese dann abzinsen zu können. Diese Abzinsung kann auf zwei verschiedenen Wegen stattfinden:

Rentenbarwert~(R_{0})=\frac{Rentenendwert}{q^{n}}
Rentenbarwert~(R_{0})=Rentenendwert*q^{-n}

Obwohl die Formeln unterschiedlich aussehen, verkörpern sie mathematisch die gleiche Rechenoperation. Durch den positiven Exponenten zu teilen, liefert das gleiche Ergebnis, wie mit dem negativen Exponenten zu multiplizieren.

Barwert vorschüssiger Renten

Der Barwert vorschüssiger Renten bei sonst gleichen Rahmenbedingungen wird immer über dem einer nachschüssigen Zahlungsreihe liegen. Das liegt daran, dass bereits eine Periode früher mit den Zahlungen begonnen wird. Dies macht sich in der Barwertformel durch einen geänderten Exponenten des Abzinsungsfaktors bemerkbar.

Rentenbarwert~(R´_{0})=\frac{Rentenendwert}{q^{n-1}}
Rentenbarwert~(R´_{0})=Rentenendwert*q^{-(n-1)}

Vereinfachte Berechnung von Rentenbarwerten

Wenn, anders als in den bisher betrachteten Konstellationen nicht der Rentenendwert, sondern die Summe der regelmäßigen Zahlungen bekannt ist, vereinfacht sich die Berechnungsformel deutlich. Für die Ermittlung des Barwertes ist dann nur die Rentenzahlung durch den Zins zu teilen.

Rentenbarwert~(R_{0})=\frac{Rente(R)}{Zinssatz(i)}

Bei vorschüssigen Renten gilt dagegen die folgende Formel:

Rentenbarwert~(R´_{0})=Rente(R)*\frac{q}{i}

Ewige Rente – Erklärung

Das Konzept der ewigen Rente kann sowohl im unternehmerischen Kontext als auch in privaten Situationen angewendet werden. Für Investoren und Unternehmen spielt das Konzept bei der Unternehmensbewertung die größte Rolle. Bei Versicherungen und der privaten Finanzplanung kann die ewige Rente jedoch ebenfalls angewendet werden.

Die ewige Rente in der Unternehmensbewertung

Ein durchaus übliches Vorgehen bei der Unternehmensbewertung ist das Treffen von Annahmen. Eine Annahme kann dabei eine unendliche Unternehmensexistenz sein. Die ewige Rente kann dann zum Einsatz kommen, wenn ein Investor für eine unendliche Unternehmenslaufzeit keine detaillierten Planungen mehr anstellt.

Nimmt ein Investor beispielsweise an, dass ein Unternehmen im Schnitt jedes Jahr um zwei Prozent wächst und alle anderen Faktoren unverändert bleiben, liegen alle Informationen für eine ewige Rente vor. Es gibt eine unendlich lange Zahlungsreihe von Zahlungen mit einem konstanten Wachstumsfaktor. Mathematisch einfacher wäre eine Unternehmensbewertung ohne die Annahme von Wachstum.

Investoren können aus der vorliegenden Zahlungsreihe, also den Renten, den Barwert ermitteln. Dieser kann als sogenannter Terminal Value bzw. Endwert einen wesentlichen Bestandteil des Unternehmenswertes ausmachen. Einen wesentlichen Einfluss auf das Ergebnis hat neben der Wachstumsrate auch der Zinssatz (Abzinsungsfaktor).

Die ewige Rente bei Versicherungen

Abseits der Unternehmensbewertung kann die ewige Rente auch für Versicherungen und Versicherungskunden relevant sein. Beispielsweise folgt die Berechnung und Bewertung von Kapitallebensversicherungen und anderen Vorsorgeprodukten den Überlegungen der ewigen Rente.

Nach einer definierten Phase von (i.d.R.) konstanten Einzahlungen kann der Kunde bis zu seinem Lebensende die vereinbarte, in der Regel monatliche, Rente erhalten. Die Versicherung wird hierbei üblicherweise eine Kalkulation anstreben, bei der sie unter Berücksichtigung demografischer Daten mehr Einzahlungen erhält, als sie tatsächlich an Renten auszahlen muss. Hierfür kann eine Versicherung die Lebenserwartungen ihrer Kunden verwenden und einen kalkulatorischen Rentenendwert berechnen. Dieser sollte für einen Gewinn der Versicherung unterhalb der Summe aller Einzahlungen liegen.

Der Rentenbarwert wird dann relevant, wenn entsprechende Versicherungsprodukte vorzeitig aufgelöst werden. Bei Kündigungen, beziehungsweise sogenannten Rückkäufen, erhält der Vertragspartner eine Einmalzahlung als Kompensation für den Vertrag. Dies ist bei einigen Versicherern ebenfalls alternativ zur monatlichen Rentenzahlung bei Fälligkeit des Vertrages möglich.

Um herauszufinden, ob die Inanspruchnahme der Rente oder deren vorzeitige Auszahlung vorteilhafter ist, kann der Barwert der Rentenzahlungen genutzt werden. Liegt dieser oberhalb der Sofortauszahlung, ist dies ein Indiz für die Vorteilhaftigkeit der Rentenzahlungen.

Hinweis: Das Konzept der ewigen Rente findet sich auch in der sogenannten FIRE-Bewegung und in den Überlegungen zur finanziellen Freiheit wieder. Vermögensgegenstände sollen hierbei langfristig (bzw. für immer) ohne einen nennenswerten Verzehr den Lebensunterhalt der Investoren decken. Die Berechnung einer ewigen Rente kann einen Hinweis darauf geben, welches Rente gegenwärtig möglich ist oder welches Kapital insgesamt benötigt wird.

Unterschied zwischen ewiger Rente und Annuitäten

Im Rahmen einer ewigen Rente werden konstante Zahlungsströme über eine unbegrenzte Laufzeit angenommen. Der Begriff der Annuität beschreibt einen sehr ähnlichen Sachverhalt. Von einer Annuität ist ebenfalls bei Zahlungsströmen in unveränderter Höhe die Rede. Annuitäten spielen beispielsweise bei der Tilgung von Darlehen eine Rolle (Annuitätendarlehen).

Eine Annuität und eine Rente unterscheiden sich jedoch im Hinblick auf den zeitlichen Aspekt. Während ewige Renten zeitlich unbegrenzt kalkuliert werden, gelten Annuitäten nur für einen festgelegten Zeitraum. In Hinblick auf Tilgungen ist dies nur logisch, weil klar bestimmt werden kann, wann beispielsweise ein Kredit vollständig getilgt sein wird.

Kritik an der ewigen Rente

Neben dem möglichen Nutzen einer ewigen Rente und den entsprechenden mathematischen Überlegungen gibt es auch Kritikpunkte. Hierzu zählt beispielsweise, dass nur gleiche Zinssätze in der Berechnung möglich sind. Eine Änderung des Abzinsungsfaktors ist nur durch eine neue Berechnung möglich. Auch zusätzliche Kapitaleinbringungen können kaum abgebildet werden. Insbesondere in der Investitionsphase eines Anlegers kann dies einen deutlichen Mehraufwand bei den Berechnungen bedeuten.

Ein weiterer Schwachpunkt der ewigen Rente kann ihre Abhängigkeit von den externen Annahmen sein. Trifft der Kunde, Bewerter oder Investor falsche Annahmen, werden die Ergebnisse der ewigen Rente kaum die Realität widerspiegeln. Dennoch gibt es gegenwärtig kein zuverlässigeres Modell bei der Kalkulation konstanter Zahlungsströme.

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